Элементарная математика. Геометрия.

Задача 15

Докажите, что сумма плоских углов трехгранного угла меньше $2\pi$, а сумма двугранных углов больше $\pi$.

Доказательство:

Пусть $OABC$ — данный трёхгранный угол. Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной $A$, образованный гранями $ABO$, $ACO$ и углом $BAC$. Напишем неравенство треугольника для трехгранного угла:

$\angle BAC \lt \angle BAO + \angle CAO$

Аналогично, и для оставшихся трёхгранных углов с вершинами $B$ и $С$:

$\angle ABC \lt \angle ABO + \angle CBO$

$\angle ACB \lt \angle ACO + \angle BCO$

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника $ABC$ равна $\pi$, получаем

$\pi \lt \angle BAO + \angle CAO + \angle ABO + \angle CBO + \angle BCO + \angle ACO = \pi - \angle AOB + \pi - \angle BOC + \pi - \angle AOC$

Для доказательства второй части возьмём произвольную точку $D$ внутри данного угла и опустим из нее перпендикуляры($DH$, $DF$, $DG$) на грани данного угла. Эти перпендикуляры будут являться рёбрами другого трёхгранного угла. Опустим перпендикуляры $HI$, $GI$ на $EC$. Теперь рассмотрим четырехугольник $DGIH$, в котором $\angle DGI = \angle DHI = \pi / 2$, следовательно $\angle GIH + \angle GDH = \pi$. Тогда $\angle GIH$ является дополнительным для $\angle GDH$. Аналогично для двух других граней данного трехгранного угла. Тогда двугранные углы данного трёхгранного угла дополняются до $\pi$ плоскими углами дополнительного трёхгранного угла, и наоборот.

Если $\alpha = \angle HDG, \beta = \angle HDF, \gamma = \angle GDF$ — двугранные углы данного трёхгранного угла, то, используя вышедоказанное неравенство для плоских углов, будем иметь $(\pi-\alpha)+(\pi-\beta)+(\pi-\gamma) \lt 2\pi$, откуда следует, что $\alpha+\beta+\gamma \gt \pi$.

Ответ:

Доказано.