Элементарная математика. Геометрия.

Задача 14

Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, равны между собой, то противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство:

Построим тетраэдр $ABCD$. Точки $E, G, F, H, I, J$ — середины ребер $AB, AC, BC, BD, CD, AD$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку точки $E$ и $H$ — середины ребер $AB$ и $BD$ соответственно, $EH$ — средняя линия треугольника $ABD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку точки $I$ и $G$ — середины ребер $DG$ и $AC$ соответственно, $IG$ — средняя линия треугольника $ACD$.

Тогда, поскольку $EH \parallel AD$ как средняя линия треугольника $ABD$ и $IG \parallel AD$ как средняя линия треугольника $ACD$, можем заключить, что $EH \parallel IG$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку точки $E$ и $G$ — середины ребер $AB$ и $AC$ соответственно, $EG$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку точки $H$ и $I$ — середины ребер $BD$ и $CD$ соответственно, $HI$ — средняя линия треугольника $BCD$.

Тогда, поскольку $HI \parallel BC$ как средняя линия треугольника $BCD$ и $EG \parallel BC$ как средняя линия треугольника $ABC$, можем заключить, что $EG \parallel HI$.

Таким образом четырехугольник $EHIG$ — параллелограмм. По условию задачи $HG = EI$ как отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра. Следовательно $EHIG$ — прямоугольник. Значит $EH \perp EG$. А из того, что $EH \parallel AD$ и $EG \parallel BC$ получаем, что $AD \perp BC$.

Перпендикулярность других противоположных ребер доказывается алогично.

Ответ:

Доказано.