Элементарная математика. Геометрия.

Задача 1

Дан правильный тетраэдр с ребром $a$(треугольная пирамида, все ребра которой равны $a$). Найдите его полную поверхность, объем, расстояние между противоположными ребрами, радиус описанного шара, радиус вписанного шара.

Решение:

Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$, а $DH$ — его высота. Высота правильного тетраэдра выражается через его ребро по формуле $h=a \sqrt{\dfrac{2}{3}}$, следовательно, $DH=h=a \sqrt{\dfrac{2}{3}}$. Точка $H$ — центр грани $ABC$.

1. Полная поверхность
Правильный тетраэдр с ребром равным $a$ — это многогранник, гранями которого являются четыре правильных треугольника со сторонами равными $a$. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
$S_{треугольника} = a^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Тогда площадь поверхности правильного тетраэдра равна:
$S_{тетраэдра}=S_{треугольника} \cdot 4=a^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4 = a^2\sqrt{3}$.

Ответ:

$a^2\sqrt{3}$.

2. Объём
Объем пирамиды вычисляется по формуле.
$V=\dfrac {1}{3}S_{основания}h$.
Как следует из предыдущего пункта задачи
$S_{основания}=a^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
Следовательно
$V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Ответ:

$\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

3. Расстояние между противоположными ребрами
Поскольку $DH$ — высота тетраэдра, угол между ребром $AD$ и плоскостью грани $ABC$ — это $\angle DAH$. Обозначим его $\alpha$. В прямоугольном $\triangle DAH$ известно, что $AD=a$, $AL=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, как высота равностороннего треугольника, $AH=\dfrac{2}{3}AL=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\cos\alpha=\cos\angle DAH=\dfrac{AH}{AD}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \implies\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро $AD$ и середину $L$ противоположного ему ребра $BC$. Поскольку $AL \perp BC$ и $DL \perp BC$, ребро $BC$ перпендикулярно секущей плоскости. Поэтому высота $LF$ $\triangle ADL$ есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых $AD$ и $BC$. Из прямоугольного $\triangle AFL$ находим, что
$FL = AL \sin \angle FAL = AL \sin \alpha = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

$\dfrac{a\sqrt2}{2}$.

4. Радиус описанного шара
Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$ , $R$ — искомый радиус описанного шара. На рисунке из предыдущего пункта продлим $AL$ до пересечения с шаром в точке $K$. Тогда $\triangle ADK$ будет равнобедренным, вписанным в осевое сечение шара. По теореме синусов получаем
$2R=\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{a}{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
или
$R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.

Ответ:

$\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$.

5. Радиус вписанного шара
Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$, $r$ — искомый радиус вписанного шара. Центр шара, вписанного в правильный тетраэдр, очевидно совпадает с центром описанного шара, при этом сумма радиусов равна высоте тетраэдра. Значит, $r=DH-R=a \sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.

Ответ:

$\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.