Элементарная математика. Геометрия.

Задача 26

Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность цилиндра, но не пересекающая его основание, делит ось цилиндра, боковую поверхность и объем в одинаковом отношении.

Решение:

Пусть плоскость, пересекающая цилиндр радиуса $R$, пересекает его ось в точке $O$, а точки $O_1, O_2$ — центры оснований цилиндра, как показано на рисунке.  Тогда ось цилиндра делится в отношении
$\frac{OO_2}{OO_1}$.

Проведем сечения цилиндра, параллельные основаниям, через точки $B, O, C$. Их площади будут равны площади оснований цилиндра, для определенности — $S$. Очевидно, что получившийся цилиндр с основаниями, содержащими точки $C$ и $B$, делится заданной плоскостью на два равных тела. Объем каждого из этих тел будет равен площади основания на расстояние от соответствующего основания до точки $O$. Объемы указанных тел равны половине объема цилиндра с основаниями, которым принадлежат точки  $C$ и $B$.  Значит, объем тела с осевым сечением $NBCK$ будет равен $V_1=S\cdot OO_2$, а объем тела с осевым сечением $ABCD$ будет равен $V_2=S\cdot OO_1$. 
Тогда отношение объемов будет равно
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S\cdot OO_2}{S\cdot OO_1}=\frac{OO_2}{OO_1}$.

Аналогично, площади боковой поверхности указанных тел равны половине площади боковой поверхности цилиндра с основаниями, которым принадлежат точки  $C$ и $B$.  Значит, площадь боковой поверхности тела с осевым сечением $NBCK$ будет равна $S_{1}=2\pi\cdot R \cdot OO_2$, площадь боковой поверхности тела с осевым сечением $ABCD$ будет равна $S_{2}=2\pi\cdot R \cdot OO_1$. 
Тогда отношение площадей боковых поверхностей будет равно
$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2\pi\cdot R \cdot OO_2}{2\pi\cdot R \cdot OO_1}=\frac{OO_2}{OO_1}$.