ЭМГеометрия: Задача S16

Задача 16

Пусть плоские углы трёхгранного угла равны $\alpha, \beta$ и $\gamma$ , а противолежащие им двугранные углы — $A, B$ и $C$ . Докажите, что справедливы следующие равенства:
1) $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{A}} = \dfrac{\sin{\beta}}{\sin{B}} = \dfrac{\sin{\gamma}}{\sin{C}}$ (теорема синусов для трёхгранного угла);
2) $\cos{\alpha} = \cos{\beta}\cos{\gamma} + \sin{\beta}\sin{\gamma}\cos{A}$ (1-я теорема косинусов для трёхгранного угла);
3) $\cos{A} = -\cos{B}\cdot\cos{C} + \sin{B}\cdot\sin{C}\cos{\alpha}$ (2-я теорема косинусов для трёхгранного угла).

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

1. Пусть $O$ — вершина трёхгранного угла.

Проведем плоскость $MLP$ , которая пересекает все три грани данного трехгранного угла. Тогда $OMLP$ будет пирамидой. Введем обозначения: $OM=a,OL=b, OP=c$ — рёбра. Тогда $\alpha, \beta, \gamma$ — плоские углы, образованные рёбрами $b$ и $c$ , $a$ и $c$ , $a$ и $b$ соответственно; $A, B, C$ — двугранные углы, противолежащие этим плоским углам.

Опустим перпендикуляр $MM'$ на плоскость противоположной грани.

Проведем перпендикуляры $M'N$ И $M'K$ .

Вычислим длину перпендикуляра $MM'$ из ${\triangle}MOK$ и ${\triangle}MKM'$ .

Из прямоугольного ${\triangle}MOK$ имеем $MK=MO\cdot{\sin{\beta}}$ , а из прямоугольного ${\triangle}MKM'$ получим: $MM'=MK\cdot{\sin{C}}=MO\cdot{\sin{\beta}}\cdot{\sin{C}}.$

С другой стороны, из прямоугольного ${\triangle}MON$ имеем $MN=MO\cdot{\sin{\gamma}}$ , а из прямоугольного ${\triangle}MNM'$ получим: $MM'=MN\cdot{\sin{B}}=MO\cdot{\sin{\gamma}}\cdot{\sin{B}}.$

Приравняем полученные выражения для $MM'$ , имеем:
$MO\cdot{\sin{\beta}}\cdot{\sin{C}}=MO\cdot{\sin{\gamma}}\cdot{\sin{B}}\Rightarrow\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{B}}=\dfrac{\sin{\gamma}}{\sin{C}}.$

Если опустить из точки $K$ ребра $c$ перпендикуляр на плоскость противоположной грани и проделать аналогичные действия, то получим $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{A}}=\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{B}}.$

Окончптельно

$\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{A}}=\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{B}}=\dfrac{\sin{\gamma}}{\sin{C}}\quad.$

2. Пусть $O$ — вершина трёхгранного угла.

Проведем плоскость $PRS$ , которая пересекает все три грани данного трехгранного угла. Тогда $OPRS$ будет пирамидой. Введем обозначения: $OP=a,OR=b, OS=c$ — рёбра. Тогда $\alpha, \beta, \gamma$ — плоские углы, образованные рёбрами $b$ и $c$ , $a$ и $c$ , $a$ и $b$ соответственно; $A, B, C$ — двугранные углы, противолежащие этим плоским углам.

Отложим на рёбрах $a, b, c$ единичные векторы $\vec{OM}=\vec{e_1}$ , $\vec{ON}=\vec{e_2}$ , $\vec{OK}=\vec{e_3}$ соответственно.

Опустим из точек $N$ и $K$ перпендикуляры к ребру $a$ и обозначим основания перпендикуляров $N'$ и $K'$ соответственно. Тогда угол между векторами $\vec{N'N}$ и $\vec{K'K}$ равен $A.$

Из прямоугольного треугольника $NON'$ имеем $|\vec{N'N}|=\sin{\gamma}$ , а из прямоугольного треугольника $KOK'$ получим: $|\vec{K'K}|=\sin{\beta}.$

По свойству проекции вектора на прямую: $\vec{ON'}=\cos{\gamma}\cdot\vec{e_1}, \vec{OK'}=\cos{\beta}\cdot\vec{e_1}.$

По правилу сложения векторов:

$\vec{e_2}=\vec{ON'}+\vec{N'N}=\cos{\gamma}\cdot\vec{e_1}+\vec{N'N}.$

$\vec{e_3}=\vec{OK'}+\vec{K'K}=\cos{\beta}\cdot\vec{e_1}+\vec{K'K}.$

Найдём скалярное произведение векторов $\vec{e_2}$ и $\vec{e_3}$ :

$\langle\vec{e_2},\vec{e_3}\rangle=|\vec{e_2}|\cdot|\vec{e_3}|\cdot\cos{\alpha}=\cos{\alpha}.$

А с другой стороны:

$\langle\vec{e_2},\vec{e_3}\rangle=\langle\cos{\gamma}\cdot\vec{e_1}+\vec{N'N},\cos{\beta}\cdot\vec{e_1}+\vec{K'K}\rangle=\cos{\gamma}\cdot\cos{\beta}\cdot\vec{e_1}^2+\langle\cos{\gamma}\cdot\vec{e_1},\vec{K'K}\rangle+\langle\vec{N'N},\cos{\beta}\cdot\vec{e_1}\rangle+\langle\vec{N'N},\vec{K'K}\rangle=$

$=\cos{\gamma}\cdot\cos{\beta}\cdot1+0+0+|\vec{N'N}|\cdot|\vec{K'K}|\cos{A}=\cos{\gamma}\cdot\cos{\beta}+\sin{\gamma}\cdot\sin{\beta}\cdot\cos{A}.$

Следовательно
$\cos{\alpha}=\cos{\gamma}\cdot\cos{\beta}+\sin{\gamma}\cdot\sin{\beta}\cdot\cos{A}\quad.$

3. Пусть $O$ — вершина трёхгранного угла.

Проведем плоскость $MNK$ , которая пересекает все три грани данного трехгранного угла. Тогда $OMNK$ будет пирамидой. Введем обозначения: $OM=a,ON=b, OK=c$ — рёбра. Тогда $\alpha, \beta, \gamma$ — плоские углы, образованные рёбрами $b$ и $c$ , $a$ и $c$ , $a$ и $b$ соответственно; $A, B, C$ — двугранные углы, противолежащие этим плоским углам.

Возьмём произвольную точку $O'$ внутри этого угла и опустим из неё перпендикуляры на грани угла. Точки $M', N', K'$ основания этих перпендикуляров.

Трёхгранный угол $O'M'N'K'$ называется полярным трёхгранным углом к трёхгранному углу $OMNK.$

$\alpha',\beta',\gamma'$ — плоские углы полярного трёхгранного угла, образованные рёбрами $O'N'$ и $O'K'$ , $O'M'$ и $O'K'$ , $O'M'$ и $O'N'$ соответственно.