Элементарная математика. Геометрия.

Решение:

Пусть точки $M$ и $N$ принадлежат скрещивающимся прямым $a$ и $b$, $K$ — середина отрезка $MN$. Через точку $K$ проведем прямые $a'$ и $b'$ , соответственно параллельные прямым $a$ и $b$. Через пересекающиеся прямые $a'$ и $b'$ проведём плоскость $\alpha$.

1. Докажем, что эта плоскость есть искомое геометрическое место всевозможных середин отрезков.

Пусть $X$ и $Y$ — произвольные точки прямых $a$ и $b$ соответственно. Поскольку прямые $a$ и $a'$ параллельны, они лежат в одной плоскости. В этой же плоскости лежит прямая $MN$ (т.к. две её точки $M$ и $K$ лежат в этой плоскости), а значит, — и прямая $NX$.

Пусть прямые $a'$ и $NX$ пересекаются в точке $P$. Тогда $P$ — середина отрезка $NX$. Если $Z$ — точка пересечения отрезка $XY$ с плоскостью $\alpha$ , то плоскость треугольника ${\triangle}NXY$ , проходящая через прямую $b$ , параллельную плоскости $\alpha$ , пересекает эту плоскость по прямой $PZ$ , параллельной прямой $b$. Поскольку $P$ — середина отрезка $XN$ , $Z$ — середина $XY$.

Таким образом, середина каждого отрезка $XY$ с концами на прямых $a$ и $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. Спроецируем отрезки с концами на скрещивающихся прямых $a$ и $b$  на плоскость $α$ параллельно заданной плоскости $\gamma$.

Их концы теперь будут лежать на двух прямых, являющихся проекциями прямых $a$ и $b$, а сами проекции окажутся параллельными прямой $l$ плоскости $α$, представляющей собой линию пересечения плоскости $α$ и заданной плоскости $\gamma$.

Из этого следует, что искомое геометрическое место точек есть прямая.