Элементарная математика. Геометрия.

Задача 18

Три шара радиусом $R$  касаются одной плоскости и попарно касаются друг друга. Найдите радиус четвертого шара, касающегося трех данных и той же плоскости.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть точки $A,B$ и $C$ — центры шаров радиуса $R$, а $O$ — центр четвертого шара с радиусом $OM=r$.
Соединим центры больших шаров. Тогда $AB = BC = AC = 2R$. 

Представим, что вокруг равностороннего треугольника ${\triangle}ABC$ описана окружность.

Центром описанной окружности равностороннего треугольника является точка пересечения медиан, биссектрис, серединных перпендикуляров и высот равностороннего треугольника.
Обозначим $Q$ — центр окружности, описанной вокруг ${\triangle}ABC$.

Запишем формулу для радиуса окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника
$AQ = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Соединим точки $A, Q, O$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle AQO$. В нем $AQ = \frac{2R}{\sqrt{3}}$, $AO=R + r$ (т.к. расстояние между центрами двух соприкасающихся шаров равно сумме радиусов этих шаров), $QO = QM - OM= R - r$.

Запишем теорему Пифагора для ${\triangle}AQO$:
$AO^2 = AQ^2 + QO^2$
и подставим найденные значения
$(R + r)^2=(\frac{2R}{\sqrt{3}})^2+(R-r)^2\Longrightarrow (R+r)^2-(R-r)^2=\frac{4R^2}{3}$ 
$\Longrightarrow (R + r + R - r) \cdot (R + r - R + r) = \frac{4R^2}{3}$ 
$\Longrightarrow 2R \cdot 2r = \frac{4R^2}{3} \Longrightarrow \frac{4 \cdot R\cdot r}{1} = \frac{4R^2}{3} \Longrightarrow 3\cdot R\cdot r = R^2 \Longrightarrow 3\cdot r = R \Longrightarrow r = \frac{R}{3}$.

Ответ:

$\frac{R}{3}$.