Элементарная математика. Геометрия.

Задача 19

Докажите, что площадь поверхности сферы, заключённой между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле $S = 2\pi Rh$, где $R$ — радиус сферы, $h$ — расстояние между плоскостями.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Доказательство:

Проведем в данной сфере диаметр $PQ$ перпендикулярно плоскостям, которые ограничивают сферический пояс, и рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через $PQ$. Сечением сферического пояса будут две дуги, симметричные относительно $PQ$. Длина проекции каждой из этих дуг на $PQ$ равна $FE=h$. Сам сферический пояс образуется в результате вращения любой из этих дуг вокруг диаметра $PQ$.

Пусть это дуга $CD$. Разобьём дугу $CD$ на $n$ равных частей и соединим последовательно точки деления. Получим равнозвенную ломаную, вписанную в эту дугу. Обозначим через $O$ середину $PQ$ (центр сферы); $L_1, L_2, L_3, ..., L_n$ — расстояния от $O$ до звеньев соответствующей ломаной (однозвенной, двузвенной, трехзвенной, ..., $n$-звенной). Так как звенья ломаной равны, то они равноудалены от центра сферы — точки $O$. Кроме того, все серединные перпендикуляры к звеньям ломаной проходят через $O$.

При вращении ломаной вокруг $PQ$ получим поверхность, составленную из частей конических поверхностей. Каждая часть этой поверхности соответствует одному звену ломаной. Применяя к каждой части поверхности формулу и складывая найденные значения, получим, что для площади поверхности, образовавшейся в результате вращения ломаной, справедливы формулы (см. Лемма 1 здесь)

$S_1=2\pi L_1 h, S_2=2\pi L_2 h, S_3=2\pi L_3 h, ..., S_n=2\pi L_n h$.

С возрастанием $n$ величина $L_n$ возрастает и стремится к $R$

$\lim\limits_{n \to \infty} L_n = R$.

Примем за площадь поверхности сферического пояса величину, к которой стремится $S_n$ . В результате получаем формулу

$S=2\pi Rh$.

По этой формуле может быть найдена площадь поверхности сферического сегмента. (Одна из плоскостей касается сферы.) Если же в данной формуле взять $h = 2R$ (обе плоскости касаются сферы), то получим уже известную формулу площади всей сферы $S_с = 4\pi R^2$.

Доказано.