Задача 20.

Докажите, что объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего, можно вычислять по формуле V=\frac{1}{6}\pi a^2h, где a — длинна хорды этого сегмента, а h — проекция этой хорды на диаметр.

Решение:

Построим рисунок. Обозначим O — центр окружности, DE — ее диаметр, AB=a — хорда, MH=h — проекция этой хорды на диаметр.

1) Найдем радиус. Соединим центр окружности с концами хорды. Рассмотрим равнобедренный {\triangle}AOB, в котором AO = OB. Проведем высоту OF, которая будет медианой и биссектрисой (по свойству равнобедренного треугольника). Пусть FO = x. В прямоугольном {\triangle}OFB имеем FB = \dfrac{a}{2}, OB = R. Из теоремы Пифагора получаем равенство R^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}.

 2) Запишем формулы для площади поверхности шара S_{пов. шара} = 4 \pi R^2  и его объема  V_{шара} = \dfrac{4}{3} \pi R^3. Очевидно, что V_{шара} = S_{пов.шара}\dfrac{R}{3}.

 3) Площадь поверхности, полученная от вращения дуги вокруг диаметра, находится по формуле  S = 2 \pi Rh. Вывод формулы и ее доказательство можно посмотреть в Задаче 19.

 4) Используя формулу площади поверхности, полученную вращением дуги вокруг диаметра, найдем объём тела, получающегося при вращении кругового сектора AOB вокруг диаметра:
V_{сектора} = 2 \pi R h \dfrac{R}{3} = \dfrac{2}{3} \pi \left (x^2 + \dfrac{a^2}{4}\right) h = \dfrac{2}{3} \pi x^2 h + \dfrac{1}{6} \pi a^2 h.
Объем этого тела можно рассматривать, как объем тела, полученного вращением {\triangle}AOB (V_{{\triangle}AOB}) и тела, полученного вращением кругового сегмента ABS (V_{ABS}), вокруг диаметра. То есть V_{{\triangle}AOB} = \dfrac{2}{3} \pi x^2 h — объем тела, полученного вращением {\triangle}AOB вокруг диаметра, следовательно, V_{ABS} = \dfrac{1}{6} \pi a^2 — объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего. Доказано.

Ответ:

V_{ABS} = \dfrac{1}{6} \pi a^2 h.
Zuletzt geändert: Montag, 9. Januar 2023, 14:57