Элементарная математика. Геометрия.

Задача 20.

Докажите, что объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего, можно вычислять по формуле $V=\frac{1}{6}\pi a^2h$, где $a$ — длинна хорды этого сегмента, а $h$ — проекция этой хорды на диаметр.

Решение:

Построим рисунок. Обозначим $O$ — центр окружности, $DE$ — ее диаметр, $AB=a$ — хорда, $MH=h$ — проекция этой хорды на диаметр.

1) Найдем радиус. Соединим центр окружности с концами хорды. Рассмотрим равнобедренный ${\triangle}AOB$, в котором $AO = OB$. Проведем высоту $OF$, которая будет медианой и биссектрисой (по свойству равнобедренного треугольника). Пусть $FO = x$. В прямоугольном ${\triangle}OFB$ имеем $FB = \dfrac{a}{2}$, $OB = R$. Из теоремы Пифагора получаем равенство $R^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.

2) Запишем формулы для площади поверхности шара $S_{пов. шара} = 4 \pi R^2$  и его объема  $V_{шара} = \dfrac{4}{3} \pi R^3$. Очевидно, что $V_{шара} = S_{пов.шара}\dfrac{R}{3}$.

3) Площадь поверхности, полученная от вращения дуги вокруг диаметра, находится по формуле  $S = 2 \pi Rh$. Вывод формулы и ее доказательство можно посмотреть в Задаче 19.

4) Используя формулу площади поверхности, полученную вращением дуги вокруг диаметра, найдем объём тела, получающегося при вращении кругового сектора $AOB$ вокруг диаметра:
$V_{сектора} = 2 \pi R h \dfrac{R}{3} = \dfrac{2}{3} \pi \left (x^2 + \dfrac{a^2}{4}\right) h = \dfrac{2}{3} \pi x^2 h + \dfrac{1}{6} \pi a^2 h$.
Объем этого тела можно рассматривать, как объем тела, полученного вращением ${\triangle}AOB (V_{{\triangle}AOB})$ и тела, полученного вращением кругового сегмента $ABS (V_{ABS})$, вокруг диаметра. То есть $V_{{\triangle}AOB} = \dfrac{2}{3} \pi x^2 h$ — объем тела, полученного вращением ${\triangle}AOB$ вокруг диаметра, следовательно, $V_{ABS} = \dfrac{1}{6} \pi a^2$ — объем тела, получающегося при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не пересекающего. Доказано.

Ответ:

$V_{ABS} = \dfrac{1}{6} \pi a^2 h$.