Элементарная математика. Геометрия.

Задача 21

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $4$, $5$ и $6$. Найдите площадь наибольшего сечения, проходящего через два параллельных не лежащих в одной грани ребра параллелепипеда.

Решение:

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть его ребра равны: $AD=4, AB=5, AA_1=6$.

Введем обозначения:
$\alpha_1$ — сечение $AA_1C_1C$ параллелепипеда, $\alpha_2$ — сечение $A_{1}BCD_{1}$ параллелепипеда , $\alpha_3$ — сечение $A_{1}B_{1}CD$ параллелепипеда (проходящие через два параллельных ребра, не лежащих в одной грани параллелепипеда). Параллельные ребра параллелепипеда равны, следовательно, сечения — прямоугольники.

Стороны сечения (как показано на рисунке) — ребро параллелепипеда и диагональ перпендикулярной этому ребру грани.

Найдем площади каждого сечения и затем сравним их между собой:

$AA_{1}C_{1}C:S_{\alpha_1} = AA_{1} \cdot AC = AA_{1} \cdot \sqrt{AB^2 + BC^2} = 6 \cdot \sqrt{25 + 16} = 6\sqrt{41}$;

$A_{1}BCD_{1}:S_{\alpha_2}=A_{1}D_{1}\cdot A_{1}B=A_{1}D_{1}\cdot\sqrt{A_{1}A^2+AB^2}$ $=4\cdot\sqrt{36+25}=4\cdot \sqrt{61}=4\sqrt{61}$;

$A_{1}B_{1}CD:S_{\alpha_3} A_{1}B_{1}\cdot A_{1}D=A_{1}B_{1}\cdot$ $\sqrt{A_{1}A^2+AD^2}=5\cdot \sqrt{36 + 16}=5\cdot\sqrt{52}=10\sqrt{13}$;

$6\sqrt{41} > 10\sqrt{13} > 4\sqrt{61}$.

$(6\sqrt{41})^2 > (10\sqrt{13})^2 > (4\sqrt{61})^2$.

$1476 > 1300 > 976$.

Ответ:

$6\sqrt{41}$.