Элементарная математика. Геометрия.

Задача 24.

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведено сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам этой пирамиды. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна $a$, боковое ребро равно $b$.

Решение:

Пусть $SABC$ — заданная пирамида, у которой $AC=AB=BC=a, SA=SB=SC=b$.

Пусть $B_{1}$ — та самая точка, которая является серединой бокового ребра, через которую проведено сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам ($SC$ и $AB$ в нашем случае).

Из построения заданного сечения следует, что $A_{1} B_{1}C_{1} D_{1}$ будет параллелограммом, т.к. $B_{1}C_{1}\parallel{}A_{1} D_{1}\parallel AB$ и $A_{1}B_{1}\parallel{}C_{1}D_{1}\parallel SC$.

Т.к. пирамида $SABC$ — правильная, то   $CS$ будет перпендикулярна к $AB$ (см. задачу 2).

Значит $B_{1}C_{1}\perp{}B_{1}A_{1}$ и $B_{1}C_{1}\perp{}C_{1}D_{1}$, т.к. $B_{1}C_{1}\parallel{}A_{1}D_{1}$. Следовательно $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ будет прямоугольником, в котором $A_{1}B_{1}, B_{1}C_{1}, C_{1}D_{1}$ и $D_{1}A_{1}$ являются средними линиями треугольников $CAS$, $ASB$, $SBC$ и $BCA$ соответственно.
Тогда

$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = \dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{b}{2} = \dfrac{a\cdot{}b}{4}$.

Ответ:

$\dfrac{a\cdot{}b}{4}$.