Элементарная математика. Геометрия.

Задача 27

В конус вписан цилиндр — основание цилиндра лежит на основании конуса, а другое основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Радиус основания цилиндра в два раза меньше радиуса основания конуса. Найдите отношение объемов цилиндра и конуса.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение: 

Пусть $AG$ — образующая конуса, а $AO$ — высота конуса.

Известно, что $R_{конуса} = 2 r_{цилиндра}$.
Запишем объёмы каждой фигуры:

$V_{цилиндра}=h S_1$, где $h$ — высота цилиндра, $S_1=\pi r_{цилиндра}^2$ — площадь основания цилиндра.

$V_{конуса}=\frac{1}{3}H S_2$, где $H$ — высота конуса, $S_2=\pi R_{конуса}^2$ — площадь основания конуса.

В условии нам задано отношение радиусов, надо найти отношение высот.

Для этого проведем осевое сечение конуса.

Рассмотрим в этом сечении $\triangle AFC$ и $\triangle AOG$. Они подобны, т.к. $FC\parallel OC$ по условию. Очевидно, что $FC$ — средняя линия $\triangle AOG$ и, следовательно,  $\frac{FO}{AO}=\frac{h}{H}=\frac{1}{2}$ т.е. $H =2 h$.

Тогда
$\dfrac{V_{цилиндра}}{V_{конуса}}=\dfrac{h\pi r_{цилиндра}^2}{\dfrac{1}{3}H\pi R_{конуса}^2}=\dfrac{3r_{цилиндра}^2 h}{(2r_{цилиндра})^2 2h}=\frac{3}{8}$.

Ответ:

$\frac{3}{8}.$