ЭМГеометрия: Задача S28

Задача 28

Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на восемь частей. В каждую из этих частей вписано по шару.

а) Найдите отношение объёма вписанного в одну из частей шара к объёму исходного шара.

б) Центры вписанных шаров являются вершинами многогранника. Что это за многогранник? Найдите отношение объёмов полученного многогранника и данного шара.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Для упрощения рисунка оставим только прямые, по которым пересекаются плоскости. Положим $R$ — радиус большого шара с центром в точке $O$ , а $r$ — радиус вписанных шаров.

Рассмотрим один из шаров с центром в точке $O_{1}$ . Он касается плоскостей в точках $M$ , $K$ , $L$ , а внешнего шара в точке $J$ .

Рассмотрим проекцию отрезков $O_{1}L$ , $O_{1}M$ на плоскость $BOE$ . Заметим, что длины проекций будут равны длинам оригиналов, как радиусы маленьких шаров.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle KM_{1}O$ с гипотенузой $KO$ . Применим для него теорему Пифагора: $M_{1}O^{2}+{KM_{1}}^{2}=KO^{2}$ , где $KM_{1}=O_{1}M=r$ , $M_{1}O=KL_{1}=O_{1}L=r$ . Следовательно $2r^{2}=KO^{2}$ , $KO=\sqrt{2}r$ .

Рассмотрим в плоскости $O_{1}OK$ прямоугольный $\triangle O_{1}OK$ с гипотенузой $O_{1}O$ . Применим для него теорему Пифагора: $O_{1}K^{2}+KO^{2}=O_{1}O^{2}$ , где $O_{1}K=r$ . Следовательно $r^{2}+2r^{2}=3r^{2}=O_{1}O^{2}$ , $O_{1}O=\sqrt{3}r$ .

С другой стороны $O_{1}O=JO-O_{1}J=R-r$ . Следовательно $\sqrt{3}r=R-r$ , $R=r(1+\sqrt{3})$ , $\dfrac{R}{r}=1+\sqrt{3}$ .

Найдём отношение объема вписанного шара к объему большого: $\dfrac{V_{вп}}{V_{б}}=\dfrac{r^{3}}{R^{3}}=\dfrac{1}{(1+\sqrt{3})^{3}}=\dfrac{1}{10+6\sqrt{3}}$ .

Так как расстояние от центра вписанного шара до данных плоскостей одинаково и равно $r$ , а также в силу симетрии центров вписанных шаров относительно плоскостей, имеем, что многогранник, получаемый из вершин вписанных шаров, есть куб со стороной $2r$ . Объем куба $V_{к}=8r^{3}$ .