Элементарная математика. Геометрия.

<

Задача 30

Основания цилиндра и конуса расположены в одной плоскости, а шар касается этой же плоскости, причём высота цилиндра равна высоте конуса и равна диаметру шара. Объёмы всех трёх тел равны между собой. Как относятся их полные поверхности? 

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть диаметр шара равен $2R$.
Запишем формулы нахождения объема шара, цилиндра и конуса:
$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi R^3$;
$V_{цилиндра}=S_{осн. цилиндра}H_{цилиндра}$;
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\cdot S_{осн. конуса}H_{конуса}$.

Учтём, что по условию задачи высоты цилиндра и конуса, равны диаметру шара: $H_{цилиндра}=H_{конуса}=2R$.
Тогда формулы для объемов запишутся так:

$V_{шара}=\frac{4}{3}\pi R^3$;
$V_{цилиндра}=2RS_{осн. цилиндра}=V_{шара}=\frac{4}{3}\pi R^3$;

$V_{конуса} = \frac{1}{3}2R \cdot S_{осн. конуса} =V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Отсюда находим

$S_{осн. цилиндра} = \pi r_{цилиндра}^2=\frac{2}{3} \pi R^2$;

$S_{осн. конуса} = \pi r_{конуса}^2 = 2 \pi R^2$.

Выразим через радиус шара радиусы цилиндра и конуса

$r_{цилиндра} = \sqrt{\frac{S_{осн. цилиндра}}{\pi}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}\pi R^2}{\pi}} = \sqrt{\frac{2}{3} R^2} = R \sqrt \frac {2}{3}$;

$r_{конуса} = \sqrt{\frac{S_{осн. конуса}}{\pi}} = \sqrt{\frac{2 \pi R^2}{\pi}} = \sqrt{2 R^2} = R \sqrt{2}$.

Поверхность шара вычисляется по известной формуле
$S_{пов. шара}=4\pi R^2$.

Далее выразим через радиус шара полные поверхности цилиндра и конуса.

$S_{пов. цилиндра}=2R\cdot 2\pi r_{цилиндра}+2S_{осн. цилиндра} = 4 \pi\sqrt \frac {2}{3}R^2 + \frac{4}{3}\pi R^2=4 \pi R^2\left(\sqrt \frac {2}{3} + \frac{1}{3}\right)$.

Для вычисления поверхности конуса надо найти длину образующей
$l = \sqrt{4R^2 + r_{конуса}^2} = \sqrt{4R^2 + 2R^2} = R \sqrt {6}$.
Тогда
$S_{пов. конуса} = \pi r_{конуса}l + S_{осн. конуса} = \pi R \sqrt{2} \cdot R \sqrt{6} + 2 \pi R^2 = \pi R^2 \sqrt{12} + 2 \pi R^2$.
Найдем отношение площадей полной поверхности конуса  и цилиндра к площади полной поверхности шара:

$\frac{\pi R^2 \sqrt{12} + 2 \pi R^2}{4 \pi R^2} = \frac{\pi R^2\left(\sqrt{12} + 2\right)}{4 \pi R^2} = \frac{\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{4} = \frac{2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{4} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$;

 $\frac{4 \pi R^2\left(\frac{\sqrt {2}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\right)}{4 \pi R^2} = \frac{\frac{\sqrt{6}+1}{3}}{1}$.

Таким образом, получим отношение $\frac{\sqrt {6} + 1}{3} : \frac{\sqrt{3} + 1}{2} : 1$.

Ответ:

$\frac{\sqrt {6} + 1}{3} : \frac{\sqrt{3} + 1}{2} : 1$.