Элементарная математика. Геометрия.

Задача 31

Найдите объём конуса, развёрткой боковой поверхности которого является полукруг радиусом $R$. 

Решение:

Пусть это будет конус с вершиной в точке $A$,  высотой $AB=H$, радиусом основания $BC=r$ и образующей $AC=R$.
Длину дуги полуокружности развёртки и длину окружности основания конуса найдем по известным формулам:
$l_ {дуги}= \pi \cdot R$;

$l_{окружности} = 2 \cdot \pi \cdot r .$

Так как они равны, то

$\pi \cdot R = 2 \cdot \pi \cdot r.$

Отсюда находим
$r_=  \frac{R}{2}.$

Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$ в осевом сечении конуса. По теореме Пифагора найдем высоту конуса:
$H =  \sqrt[]{R^2 - r^2}  = \sqrt[]{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{R}{2}\cdot\sqrt[]{3}.$

Тогда объём конуса
$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{R}{2} \cdot \sqrt[]{3}\right) = \frac{\pi \cdot R^3 \cdot \sqrt[]{3}}{24}.$

Ответ:

$\frac{\pi \cdot R^3 \cdot \sqrt[]{3}}{24}.$