Элементарная математика. Геометрия.

Задача 32

Из круга вырезан сектор с центральным углом в $90^\circ$. Из двух получившихся частей склеены два конуса (боковые поверхности). Найдите отношение объёмов получившихся конусов.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть радиус круга, который является образующей конусов,  равен $l$.

Конус из сектора $90^\circ$ будем считать малым, из сектора $270^\circ$ большим.

Также найдём длины дуг $P_М$ и $P_Б$, они равны длинам окружностей, лежащих в оснований малого и большого конуса соответственно.

$P_М = \frac{2 \pi l \cdot 90^\circ}{360^\circ } = \frac{2 \pi l }{4}$,       $P_Б = \frac{2 \pi l \cdot 270^\circ}{360^\circ} = \frac{2 \pi l 3}{4} = \frac{3 \pi l }{2}$.

Отсюда найдём радиусы оснований $r$ малого конуса и $R$ большого конуса:

$P_М= 2\pi r\Rightarrow r = \frac{P_М}{2 \pi} \Rightarrow r= \frac{l}{4}$,
$R= \frac{3 l}{4}$.

Далее по теореме Пифагора находим высоты $h$ малого и $H$ большого конусов:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \frac{l \sqrt{15} }{4}$,       
$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \frac{l \sqrt{7} }{4}$.

Теперь можем найти отношение объёмов:

$\frac{V_Б}{V_М}= \dfrac{\frac{1}{3}H \pi R^2 }{\frac{1}{3}h \pi r^2 } = \dfrac{ \frac{l \sqrt{7} }{4}\cdot \frac{l^2 9}{16} }{\frac{l \sqrt{15} }{4}\cdot \frac{l^2 }{16} } = 9 \cdot \sqrt{\frac{7}{15}}$.

Ответ: 

$9 \cdot \sqrt{\frac{7}{15}}$ .