Элементарная математика. Геометрия.

Задача 33

Найдите угол:
а) между двумя диагоналями куба;
б) между диагональю куба и непересекающейся с ней диагональю грани.

Решение:

Пусть задан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$.

а) Проведем диагонали куба и рассмотрим варианты их пересечения. Так как сечение куба, проведенное через его две диагонали всегда будет представлять собой прямоугольник, одна сторона которого — это сторона квадрата, а вторая — это диагональ квадрата, то для определенности рассмотрим плоскость диагонали $A_1C$ и $DB_1$.

Они лежат в плоскости $A_1DCB_1$. Это прямоугольник со сторонами $DC=a, A_1D=a \sqrt{2}$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей куба. Тогда $\angle{A_1OB_1}=\alpha$ — искомый угол.

$A_1C$ = $a \sqrt{3}$. $A_1O$ = $\dfrac{1}{2}$  $A_1C$ = $\dfrac{a \sqrt{3} }{2}$  = $OB_1$.

Рассмотрим треугольник $A_1OB_1$. По теореме косинусов последовательно получим:

${a^2}=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}-2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\cos{\alpha}$;

${a^2}=\dfrac{3a^2}{2}-\dfrac{3a^2}{2}\cdot\cos{\alpha}$;

$\dfrac{3a^2}{2}\cdot\cos{\alpha}=\dfrac{a^2}{2}$;

$3\cos{\alpha} = 1$;

${\alpha} = \arccos \dfrac{1}{3}$.

б)

Угол между диагональю куба и непересекающейся с ней диагональю грани это угол между скрещивающимися прямыми.

Так как $BD$ — проекция $B_1D$ на плоскость $ABCD$, то искомый угол будет между $AC$ и $BD$. 

Угол между диагоналями квадрата равен $90^\circ.$

Ответ:

а)$\arccos \dfrac{1}{3}$;
б)$90^\circ.$