Задача 33

Найдите угол:
а) между двумя диагоналями куба;
б) между диагональю куба и непересекающейся с ней диагональю грани.

Решение:

Пусть задан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной a.

а) Проведем диагонали куба и рассмотрим варианты их пересечения. Так как сечение куба, проведенное через его две диагонали всегда будет представлять собой прямоугольник, одна сторона которого — это сторона квадрата, а вторая — это диагональ квадрата, то для определенности рассмотрим плоскость диагонали A_1C и DB_1.

Они лежат в плоскости A_1DCB_1. Это прямоугольник со сторонами DC=a, A_1D=a \sqrt{2}.

Пусть O — точка пересечения диагоналей куба. Тогда \angle{A_1OB_1}=\alpha — искомый угол.

A_1C = a \sqrt{3}. A_1O = \dfrac{1}{2}  A_1C =  \dfrac{a \sqrt{3} }{2}   = OB_1.

Рассмотрим треугольник A_1OB_1. По теореме косинусов последовательно получим:

{a^2}=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}-2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\cos{\alpha};

{a^2}=\dfrac{3a^2}{2}-\dfrac{3a^2}{2}\cdot\cos{\alpha};

\dfrac{3a^2}{2}\cdot\cos{\alpha}=\dfrac{a^2}{2};

3\cos{\alpha} = 1;

{\alpha} = \arccos \dfrac{1}{3} .

б)

Угол между диагональю куба и непересекающейся с ней диагональю грани это угол между скрещивающимися прямыми.

Так как BD — проекция B_1D на плоскость ABCD, то искомый угол будет между AC и BD. 

Угол между диагоналями квадрата равен 90^\circ.

Ответ:

а)\arccos \dfrac{1}{3};
б)90^\circ.
最后修改: 2023年01月20日 星期五 15:39