Элементарная математика. Геометрия.

Задача 34

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер треугольной пирамиды объёмом $V$.

Решение:

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Пусть $EABC$ — треугольная пирамида. Точки $H$, $K$, $F$, $J$, $G$ и $I$ — середины рёбер треугольной пирамиды $EABC$. После соединения всех середин рёбер, получим многогранник $HKFJGI$. Найдём его объём.
$V_{ABCE} = V_{EHKF} + V_{CHGJ} + V_{AKJI} + V_{BFGI} + V_{HKFGJI} \Rightarrow V_{HKFGJI}$ $= V_{ABCE} -(V_{EHKF} + V_{CHGJ} + V_{AKJI} + V_{BFGI})$.

Известно, что площади фигур, полученных в результате  пересечения многогранного угла параллельными плоскостями, относятся как квадраты расстояний от вершины. Тогда площади треугольников в основаниях пирамид равны соотношению $\frac{S_{EHKF}}{S_{ABCE}} = \frac{1}{4}$, а их высоты относятся как $\frac{EL}{ED} = \frac{1}{2}$. Из этого следует, что $V_{EHKF}= \frac{1}{8} \cdot V_{ABCE}$.

То же верно для $V_{CHGJ}, V_{AKJI}$ и $V_{BFGI}$.

Получаем $V_{HKFGJI} = V_{ABCE} -(V_{EHKF} + V_{CHGJ} + V_{AKJI} + V_{BFGI})$ $=V_{ABCE} -\frac{1}{2} \cdot V_{ABCE}= \frac{1}{2} \cdot V_{ABCE} = \frac{V}{2}$.

Ответ:

$\frac{V}{2}$.