Элементарная математика. Геометрия.

Решение:

По условию $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — правильная треугольная призма.

Пусть $M_{1}$ — середина $B_{1}C_{1}$, тогда $CM_{1} \cap BB_{1} = X$.

Проведем $XA \cap A_{1}B_{1} = M$, где $M$ — середина $A_{1}B_{1}$.

Получим, что $AMM_{1}C$ — искомое сечение.

Найдем $MM_{1} = \dfrac{A_{1}C_{1}}{2} = 3$, как средняя линия ${\triangle}A_{1}B_{1}C_{1}$.

Так как $M_{1}C_{1} = 3$, как половина $B_{1}C_{1}$, то ${\triangle}M_{1}C_{1}C$ — египетский, поэтому $M_{1}C = 5$.

Проведем $M_{1}S \perp AC$. Так как $AMM_{1}C$ — равнобедренная трапеция, то $SC = \dfrac{AC-MM_{1}}{2} = \dfrac{3}{2}$.

Из ${\triangle}M_{1}SC$ по тереме Пифагора $M_{1}S = \sqrt{M_{1}C^2 - SC^2} = \dfrac{\sqrt{91}}{2}$.

Тогда площадь искомого сечения равна $S_{AMM_{1}C} = \dfrac{MM_{1} + AC}{2} \cdot M_{1}S = \dfrac{9\sqrt{91}}{4}$.