Элементарная математика. Геометрия.

Задача 38.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны $2$. Найдите объём этой пирамиды, а так же радиусы вписанного и описанного шаров.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть $FABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с ребром $a=2$, высотой $FE=h$. Обозначим $R$ и $r$ — радиусы описанного и вписанного шаров соответственно. 

Проведем диагональ $AC$ квадрата $ABCD$.

Очевидно, что $A C =a \sqrt{2} =2\sqrt{2}$.
Высоту $FE$ найдем из прямоугольного $\triangle FEC$ по теореме Пифагора:

$FE= h= \sqrt{a^2 -\left(\frac{AC}{2}\right)^2}=\sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.

Получается, что $AE=FE$. Значит $\triangle AEF$ — прямоугольный равнобедренный с острым углом, равным $45^\circ$. Тогда $\angle AFC=90^\circ$. 

Так как прямоугольный $\triangle AFC$ вписан в осевое сечение шара, значит его прямой угол опирается на диаметр, поэтому радиус шара
$R = \ \frac{AC}{2}=h=\sqrt{2}$.

Проведем осевое сечение пирамиды через точки $F$ и $H$ так, что $AH=DH$. Это сечение представляет собой равнобедренный  $\triangle FHL$, в который вписано осевое сечение вписанного в пирамиду шара. Так как основание $HL=2$, то найдем боковую сторону из прямоугольного $\triangle FHE$. Она очевидно равна
$FH = \sqrt{a^2 -\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.

Радиус вписанной в $\triangle FHL$ окружности найдем, приравнивая площади треугольника, записанные по двум формулам: 

$S_{\triangle FHL}=\frac{1}{2} h\cdot a=p\cdot r$,
где $p$ — полупериметр треугольника.

Тогда $r=\frac{h\cdot a}{2p}=\frac{2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}$.

Находим объём пирамиды:

$V=\frac{1}{3}S_{основ.}h=\frac{1}{3}a^2h=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{1+ \sqrt{3}}$; $\frac{2}{\sqrt{2}};$ $\frac{4}{3} \sqrt{2}$.