Элементарная математика. Геометрия.

Задача 39

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной  $6$. Найдите объем этой призмы, если известно ,что в нее можно вписать шар.

Решение:

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCHJI$ с высотой $DE$.

Так как в основании призмы лежит правильный треугольник, а в призму вписан шар, то центральное сечение шара, параллельное основанию призмы,  должно быть вписано в треугольник основания. Пусть $r$ — радиус вписанной в $\triangle ABC$ окружности и шара одновременно, $a=6$ — сторона треугольника. 
Площадь $\triangle ABC$ может быть записана по формулам
$S_{\triangle ABC}= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}=9\sqrt3$;

$S_{\triangle ABC}= p\cdot r=9r$,
где $p$ — полупериметр основания.

Приравнивая правые части, находим $r= \sqrt{3}$.

По условию высота призмы $DE=2r=2 \sqrt{3}$.

Тогда объем $V=S_{\triangle ABC}\cdot DE=9 \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=54$.

Ответ:

$54$.