Элементарная математика. Геометрия.

Задача 41

Внутри куба с ребром $a$ расположены два равных касающихся между собой шара. При этом один шар касается трёх граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трёх оставшихся граней куба. Найдите радиусы этих шаров.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть задан куб $ABCDEFGH$.

Найдём диагональ куба. Для этого рассмотрим грань куба $AEHD$ — квадрат со стороной $a$. Диагональ $d$ квадрата $AEHD$ равна $a\sqrt {2}$. Обратим внимание, что диагональ грани $AEHD$ и ребро куба образуют прямоугольный треугольник, в котором $CDE$ — прямой угол. Тогда по теореме Пифагора найдем диагональ $CE$ куба:
$CE^2=a^2+(a\sqrt {2})^2=a^2+2a^2=3a^2$.
Таким образом $CE= a\sqrt {3}$.

Теперь рассмотрим две грани куба: $GFEH$ и $FBAE$. Несложно заметить, что любая точка, равноудалённая от этих двух граней, будет лежать на биссекторе. Это верно и в случае $GFEH$ и $BFGC$. Пересечение двух биссекторов образует диагональ куба. Следовательно центры шаров $J$ и $R$ расположены на диагонали куба $CE$.
Построим куб $NRSOMQPE$ с диагональю $ER$, расположенный внутри куба $ABCDEFGH$. Пусть ребро этого куба равно $r$ и совпадает с радиусом шара, а диагональ этого куба $ER=r\sqrt 3$. Тогда $ER= r \sqrt 3,JR=2r$, $JC=r \sqrt3$ и справедливо равенство $2r\sqrt 3 + 2 r=a\sqrt3$. Откуда получаем $r = \dfrac {a\sqrt3}{2(\sqrt3 +1)}$.

Ответ:

$\frac {a\sqrt3}{2(\sqrt3 +1)}$.