Элементарная математика. Геометрия.

Задача 42

Угол при вершине осевого сечения конуса равен $150^\circ$. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Решение:

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Рассмотрим конус с вершиной $S$, центром окружности $O$ и углом при вершине  $\beta=150^\circ$. Пусть $a$ — это образующая. Пусть $SEC$ — треугольник в осевом сечении, а $SAB$ — прямоугольный треугольник в заданном сечении, у которого $AB\perp EC$.
Сначала найдем радиус $R$ окружности, выразив его через образующую.
Очевидно, что $\triangle SCE$ — равнобедренный.
Тогда по теореме косинусов получим:
$\left(2R\right)^2=2a^2\left(1-\cos 150^\circ\right) = 2a^2\left(1+\frac{\sqrt 3}{2}\right) = a^2\left(2 + \sqrt 3\right)$;
$R^2 = a^2\frac{2+\sqrt 3}{4}.$
Далее найдем гипотенузу в прямоугольном $\triangle SAB$:
$AB = a\sqrt 2$.
По построению $AK=KB=\frac{a}{\sqrt 2}$.
В прямоугольном $\triangle ASK$ справедливо равенство $AK=SK$, так как $SK$ — высота, биссектриса и медиана. Значит
$SK = \frac{2}{\sqrt 2}.$
Рассмотрим прямоугольный $\triangle AOK$. По теореме Пифагора получим
$OK^2 = OA^2 - AK^2 = a^2\frac{2+\sqrt 3}{4} - \frac{a^2}{2} = a^2\frac{\sqrt 3}{4}$
и
$OK = \frac{a \sqrt[4]{3}}{2}.$
Теперь можем найти косинус искомого угла:
$\cos\angle SKO = \frac{OK}{SK} = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}.$

$\cos\angle SKO = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt[4]{12}}{2}.$