Элементарная математика. Геометрия.

Задача 43

Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами $3, 4$ и $5$, а двугранные углы при основании равны $60^\circ$.

Решение:

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Рассмотрим пирамиду $EABC$, у которой $BC=5,AC=4, AB=3$ и $EF=H$ — высота. Треугольник в основании является египетским. Тогда
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\cdot{3}\cdot{4} = 6$.

Так как объем пирамиды находится по формуле
$V_{EABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot H$,
то осталось найти ее высоту. Воспользуемся следующим утверждением: если все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, и вершина пирамиды проецируется в центр окружности.

Для нахождения высоты рассмотрим $\triangle EDF$. Поскольку $FD$ является проекцией $ED$ и $FD$ перпендикулярна $AC$, то $ED$ является перпендикуляром к $AC$. Значит, двугранный угол при основании измеряется линейным углом $\angle EDF = 60^ \circ$.

Найдем радиус вписанной окружности из формулы $S_{\triangle ABC} = pr$, где $p$ — полупериметр описанного треугольника. Получаем
$r=DF = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} = \frac{6}{6} = 1$;
$EF = \text{tg}60^\circ\cdot DF =\sqrt{3}$.

Тогда :
$V_{EABC} = \frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot H = \frac{1}{3}\cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Ответ :

$2\sqrt{3}$.