ЭМГеометрия: Задача S43

Задача 43

Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами $3, 4$ и $5$ , а двугранные углы при основании равны $60^\circ$ .

Решение:

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Рассмотрим пирамиду $EABC$ , у которой $BC=5,AC=4, AB=3$ и $EF=H$ — высота. Треугольник в основании является египетским. Тогда
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\cdot{3}\cdot{4} = 6$ .

Так как объем пирамиды находится по формуле
$V_{EABC} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot H$ ,
то осталось найти ее высоту. Воспользуемся следующим утверждением: если все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, и вершина пирамиды проецируется в центр окружности.

Для нахождения высоты рассмотрим $\triangle EDF$ . Поскольку $FD$ является проекцией $ED$ и $FD$ перпендикулярна $AC$ , то $ED$ является перпендикуляром к $AC$ . Значит, двугранный угол при основании измеряется линейным углом $\angle EDF = 60^ \circ$ .

Найдем радиус вписанной окружности из формулы $S_{\triangle ABC} = pr$ , где $p$ — полупериметр описанного треугольника. Получаем
$r=DF = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} = \frac{6}{6} = 1$ ;
$EF = \text{tg}60^\circ\cdot DF =\sqrt{3}$ .