Элементарная математика. Геометрия.

Задача 44

Найдите отношение объёмов цилиндра и конуса, вписанных в один и тот же шар, если высота и цилиндра и конуса равна радиусу шара.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
1) В условии сказано, что высота конуса равна радиусу шара (далее $r$), поэтому вершина конуса $H$ будет лежать на сфере, а основание конуса будет совпадать с центральным сечением шара. Изобразим конус вписанный в шар, где точка $O$ — центр шара, $OR=r$ — радиус шара и основания конуса, $OH=r$ — высота конуса.

Запишем объем конуса в принятых обозначениях:
$V_{конуса}=\frac{1}{3}OH\cdot S_{осн.конуса}=\frac{1}{3}r \cdot r^2 \cdot\pi = \frac{\pi r^3}{3}$.

2) Изобразим цилиндр вписанный в шар. Очевидно, что оба основания цилиндра должны быть симметричны относительно плоскости центрального сечения шара. Из условия мы знаем, что $h_{цилиндра}=BD=r$ , а вот радиус основания цилиндра необходимо найти.

Для этого построим прямоугольный треугольник $OBC$, где  $B$ — центр верхнего основания цилиндра, а $C$ — точка на окружности, которая является линией  касания цилиндра и шара. Значит, $OC=r, OB=\frac{h_{цилиндра}}{2}=\frac{r}{2}$.

Пусть $BC=R_{цилиндра}$.

Тогда по теореме Пифагора последовательно получим
$BC^2=OC^2-BO^2$;
$R_{цилиндра}^2=r^2- \frac{r^2}{4}=\frac{3\cdot r^2}{4}$.

Запишем объем цилиндра

$V_{цилиндра}=h\cdot S_{осн.цилиндра}=r \cdot R^2 \cdot\pi = \frac{3 \pi\cdot r^3}{4}$.

Окончательно записываем отношение объема цилиндра к конусу 

$\frac{V_{цилиндра}}{V_{конуса}}= \frac{3\pi r^3}{4} \cdot \frac{3}{\pi r^3}= \frac{9}{4}$.

Ответ:

$\frac{9}{4}$.