Элементарная математика. Геометрия.

Задача 45

Осевое сечение конуса является правильным треугольником. Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Рассмотрим два шара, каждый из которых касается этих двух плоскостей, плоскости основания конуса и его боковой поверхности, только один касается её изнутри, а другой — снаружи. Найдите отношение радиусов этих шаров.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Рассмотрим конус, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной, равной $2a$. Очевидно, что радиус основания конуса $OB = a$.

Рассмотрим вписанный шар меньшего радиуса с центром в точке $Q$. Шар касается образующей конуса и основания, следовательно $QB$ является биссектрисой $\angle HBO$. Пусть радиус шара $QA = r$. Тогда $QB = 2r$, так как $\angle QBO = 30^{\circ}$.
Отрезок $AB$ равняется $r\sqrt{3}$ по теореме Пифагора для прямоугольного $\triangle QBA$.
Так как шар касается двух взаимно перпендикулярных плоскостей и основания конуса, то очевидно, что его центр $Q$ лежит в одной из вершин куба с ребром, равным радиусу шара. Отрезок $OA$ является диагональю квадрата, который является гранью куба, где все ребра равны $r$, тогда $OA = r\sqrt{2}$.
Следовательно, $OB = OA + AB = a = r\sqrt{2} + r\sqrt{3}$.

Отсюда выразим радиус внутреннего шара
$r = \frac{a}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$.

Рассмотрим далее вписанный шар большего радиуса с центром в точке $Q_{1}$. Шар касается образующей конуса и основания, следовательно $Q_{1}B$ является биссектрисой угла смежного с $\angle HBO$.
Пусть радиус шара $Q_{1}A_{1} = R$.
Так как шар касается двух взаимно перпендикулярных плоскостей и плоскости основания конуса, то очевидно, что его центр $Q_{1}$ лежит в одной из вершин куба с ребром, равным радиусу шара. Отрезок $OA_{1}$ является диагональю квадрата, который является гранью куба, где все ребра равны $R$, тогда $OA_{1} = R\sqrt{2}$.
Отрезок $BA_{1} = \frac{R}{\sqrt{3}}$, так как $\triangle Q_{1}BA_{1}$ прямоугольный с углами $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$.
Следовательно $OA_{1} = OB + BA_{1} = a + \frac{R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{2}$.
Отсюда выразим радиус внешнего шара
$R = \frac{a}{\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}}$.

Найдем отношение радиусов внутреннего и внешнего шаров:
$\frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}}}{\frac{a}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}} = \frac{9+4\sqrt{6}}{5}$.

Ответ:

$\frac{9+4\sqrt{6}}{5}$.