Элементарная математика. Геометрия.

Задача 46

Осевым сечением цилиндра является квадрат, а осевым сечением конуса — правильный треугольник, равновеликий квадрату. Найдите отношение объёмов цилиндра и конуса.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

1. Рассмотрим цилиндр, высота которого $FK=a$, радиус основания $KN=\dfrac{a}{2}$ (по условию осевым сечением цилиндра является квадрат). Тогда объем цилиндра будет вычисляться по формуле
$V_1=\pi\left (\dfrac{a}{2}\right )^2a=a^3\dfrac{\pi}{4}$.

2. Рассмотрим конус, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной $BM=b$. Тогда его высота $BH=\dfrac{b\sqrt{3}}{2}$. Очевидно, что радиус основания $HM=\dfrac{b}{2}$. Теперь вычислим объем конуса:
$V_2=\dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\dfrac{b\sqrt{3}}{2}=\dfrac{b^3\sqrt{3}}{6} \dfrac{\pi}{4}$.

3. Выразим сторону квадрата через сторону правильного треугольника. По условию правильный треугольник и квадрат равновеликие, т.е. их площади равны. Значит,
$a^2=\dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}$
и
$a=b \dfrac{\sqrt[4]{3}}{2}$.

4. Подставим это значение в формулу для объёма цилиндра
$V_1=\left(\dfrac{b\sqrt[4]{3}}{2}\right)^3 \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{b^3(\sqrt[4]{3})^3}{2^3} \dfrac{\pi}{4}$.

5. Теперь можно найти отношение объёмов цилиндра и конуса:
$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\dfrac{b^3(\sqrt[4]{3})^3}{2^3}\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{b^3\sqrt{3}}{6} \dfrac{\pi}{4}}$=$\dfrac{b^3(\sqrt[4]{3})^3}{b^3\sqrt{3}} \dfrac{6}{2^3}=\dfrac{3\sqrt[4]{3}}{4}$.

Ответ:

$\dfrac{3\sqrt[4]{3}}{4}$.