Элементарная математика. Геометрия.

Задача 50

На каждом из рисунков а) и б) изображена проекция (ортогональная) какого-то многогранника (вид сверху, невидимые рёбра отсутствуют). Докажите, что многогранники, проекции которых изображены, невозможны.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Обозначим вершины внешнего четырехугольника, начиная с левой нижней и по часовой стрелке, через $A$, $B$, $C$ и $D$,  а соответствующие вершины внутреннего через $A_1$, $B_1$, $C_1$ и  $D_1$.

a) Получается, что вершина $A_1$ дальше, чем $B_1$,  удалена от плоскости $ABCD$ ($A_1$ "выше" $B_1$). Чтобы в этом убедиться, достаточно провести через $B_1$ прямую, параллельную $AB$. Получается, что 
$A_1$ "выше" $B_1$, 
$B_1$ "выше" $C_1$, 
$C_1$ "выше" $D_1$,
$D_1$ "выше" $A_1$.
Значит, $A_1$ "выше" $A_1$, что невозможно. Противоречие.

б) Получается, что вершина $A_1$ дальше, чем $B_1$,  удалена от плоскости $ABCD$ ($A_1$ "выше" $B_1$). Чтобы в этом убедиться, достаточно провести через $A_1$ прямую, параллельную $AB$. Получается, что 
$A_1$ "выше" $B_1$, 
$B_1$ "выше" $C_1$, 
$C_1$ "выше" $D_1$,
$D_1$ "выше" $A_1$.
Значит, $A_1$ "выше" $A_1$, что невозможно. Противоречие.