Элементарная математика. Геометрия.

Задание 49

Докажите, что рисунок, изображающий треугольную пирамиду, в которой проведено сечение, неверен.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Доказательство:

Рассмотрим пирамиду $DABC$. По условию точка $E$ принадлежит ребру $AB$, точка $F$ — ребру $BC$, точка $H$ — ребру $AD$ и точка $G$ соответственно ребру $CD$. 

Для начала проведём прямые через точки на рёбрах. 

Теперь мы можем заметить, что переднее ребро $BD$ пирамиды при продлении имеет две различные точки пересечения с продолжениями противоположных сторон сечения. $EH \cap BD = P$ и $FG \cap BD = O$. Для того, чтобы верно построить сечение в пирамиде, необходима одна точка пересечения данных прямых с ребром пирамиды. Соответственно сечение $EFGH$ провести в пирамиде $DABC$ невозможно.

Теперь построим верное сечение. Для этого необходимо провести прямую через точку пересечения  $P$ и точку $G$ на ребре $CD$. После построения данной прямой $GP$, мы отмечаем новую точку $S$, которая принадлежит ребру пирамиды $BC$. Соединяем точки $E$, $S$, $G$ и $H$ и получаем верное сечение $ESGH$ для пирамиды $DABC$.