Элементарная математика. Геометрия.

Задача 52

Проекцией куба является правильный шестиугольник со стороной $a$. Найдите объём куба.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
На основании результатов задачи 35, можно утверждать, что заданная проекция будет на плоскость, перпендикулярную диагонали куба, как показано на рисунке.
Пусть $BH$ — диагональ куба, перпендикулярно, которой построена плоскость, проходящая через точку $L$.

Рассмотрим плоскость, которая при пересечении с кубом даёт сечение $AFC$.
В этой плоскости лежат диагонали $AF, FC, AC$ граней куба. А диагональ куба $BH$ проецируется на эти грани, образуя диагонали $BE, BG, BD$.
Так как грани куба являются квадратами, то их диагонали перпендикулярны.
Значит, диагонали $AF, FC, AC$, будучи перпендикулярными проекциям диагонали куба $BH$, по теореме о трёх перпендикулярах, перпендикулярны и самой диагонали $BH$.
Следовательно, плоскость сечения $AFC$ перпендикулярна диагонали куба $BH$.
А значит, при смещении плоскости, проведенной  через точку $L$ перпендикулярно диагонали $BH$, в точку $D$ получится такой же треугольник, ведь через точку вне данной плоскости можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

Пусть сторона куба равна $b$.
По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$;
$AC = b\sqrt{2}$;
$OC = \frac{b\sqrt{2}}{2}$.

Так как проекцией куба является правильный шестиугольник, его углы при вершине равны $120^{\circ}$. Тогда $\angle CDA = 120^{\circ}$, а $\angle CAD = 30^{\circ}$. Значит, $OD = \frac{1}{2}DC= \frac{a}{2}$, как сторона лежащая против $\angle 30^{\circ}$.
Запишем теорему Пифагора для $\triangle AOD$ и выполним преобразования:
$AO^2+OD^2=AD^2$;
$\frac{2b^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2}$;
$\frac{2b^{2}}{4} = \frac{3a^{2}}{4}$;
$2b^{2} = 3a^{2}$;
$b = \sqrt{\frac{3}{2}}a$.

Найдем объём: 
$V = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}a^{3}$.

Ответ:

$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}a^{3}$