ЭМГеометрия: Задача S56

Задача 56.

Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять рёбер которой равны $2$ , а одно ребро равно $1$ .

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Построение:
Построим пирамиду $DABC$ , 5 ребер которой равны $2$ , а ребро $CD = 1$ .
Построим перпендикуляры из точек $C$ и $D$ в точку $E$ отрезка $AB$ . Получившийся $\angle{DEC}$ — линейный угол двугранного угла между гранями $DAB$ и $CAB$ . Построим его биссектрису $EF$ и сечение $BFA$ . Это сечение принадлежит биссекторной плоскости указанного двугранного угла.
Аналогично построим биссекторные сечения двух других двугранных углов при грани $ABC$ . Точка пересечения $M$ биссекторных плоскостей двугранных углов у этой грани пирамиды и будет центром вписанного шара.

Решение:

Пусть $R$ — радиус шара с центром в точке $M$ , вписанного в пирамиду $DABC$ , $V_{DABC}$ — объём пирамиды $DABC$ , $S$ — площадь поверхности пирамиды $DABC$ .

Докажем формулу
$R= \dfrac{3V_{DABC}}{S}$ .

Для этого соединим точку

$M$ с вершинами пирамиды. Получили четыре пирамиды

$MABC$ ,

$MDCA$ ,

$MDAB$ ,

$MDCB$ , высота каждой из которых равна радиусу вписанного в пирамиду

$DABC$ шара.

Очевидно, что

$V_{DABC} = V_{MABC}+ V_{MDCA} + V_{MDAB} + V_{MDCB} = \dfrac{R}{3} \cdot S_{\triangle ABC} + \dfrac{R}{3} \cdot S_{\triangle DCA} + \dfrac{R}{3} \cdot S_{\triangle DAB} + \dfrac{R}{3} \cdot S_{\triangle DCB} = \dfrac{R}{3} \cdot S \Rightarrow R = \dfrac{3V_{DABC}}{S}$ .

Таким образом, для нахождения радиуса вписанного в пирамиду шара достаточно вычислить объем пирамиды и площадь ее поверхности.
Для площади поверхности пирамиды в соответствии с условием справедлива формула
$S=2(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle DAC})$ .
Пусть $H$ — высота пирамиды, опущенная из точки $D$ . Тогда
$3V_{DABC} = S_{\triangle ABC} \cdot H$ ,

Найдём высоту пирамиды $DABC$ .

Рассмотрим равнобедренный $\triangle DEC$ . Проведем $DO \perp EC$ , значит $DO$ — высота пирамиды $DABC$ .

Найдём $DO$ . Для этого выразим $DO^2$ в $\triangle{DOC}$ и $\triangle{DOE}$ по теореме Пифагора и решим квадратное уравнение (пусть $CO= x, OE=CE-CO=\sqrt{3}-x$ ):