Элементарная математика. Геометрия.

Задание 54.

Найдите величину двугранного угла между соседними боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в неё шара в три раза меньше стороны основания.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть  $SABCD$ заданная пирамида с высотой $SH$. Проведем высоты $SN$ и $SM$ в $\triangle SAD$ и $\triangle SCB$ соответственно, а также $NM$. Рассмотрим  равнобедренный $\triangle SNM$, в котором примем $\angle SNH = \alpha$, $NM = a$. В силу симметрии центр вписанного шара $O$ лежит на $SH$. Тогда $OH = \dfrac{a}{3}$, $NH = \dfrac{a}{2}$.

Для определения угла $\gamma$ между боковыми гранями пирамиды воспользуемся 1-ой теоремой косинусов для трехгранного угла, например, с вершиной в точке $A$:
$\cos{90^\circ} = \cos{\angle SAD}\cos{\angle SAD} + \sin{\angle SAD}\sin{\angle SAD}\cos{\gamma}$.

Для того, чтобы найти синус и косинус $\angle SAD$, поступим следующим образом.
Сначала найдем косинус угла $\alpha$:
$\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{OH}{NH}=\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{2}{a} = \dfrac{2}{3}$;

$\cos\alpha=\dfrac{1-\text{tg}^2\dfrac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{1 - \dfrac{4}{9}}{1 + \dfrac{4}{9}} = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{13} = \dfrac{5}{13}$.

Далее рассмотрим  $\triangle SHN$, в котором
$SN = \dfrac{NH}{\cos\alpha} = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{13}{10}a$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle SAN$. Пусть $\angle SAN =\angle SAD= \beta$.
По теореме Пифагора получим
$SA = \sqrt{AN^2 + SN^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{169a^2}{100}} = \dfrac{\sqrt{194}}{10}a$.
Тогда
$\cos\beta = \dfrac{AN}{SA} = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{10}{a\sqrt{194}} = \dfrac{5}{\sqrt{194}}$
и
$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \dfrac{25}{194}} = \dfrac{13}{\sqrt{194}}$.

По теореме косинусов для трёхгранного угла

$\cos\gamma = \dfrac{0 - \cos^2\beta}{\sin^2\beta} = - \dfrac{25}{194} \cdot \dfrac{194}{169} = - \dfrac{25}{169}$;

$\gamma = \arccos(-\dfrac{25}{169}) = \pi - \arccos\dfrac{25}{169}$.

Ответ:

$\pi - \arccos\dfrac{25}{169}$.