Элементарная математика. Геометрия.

Решение:

Пусть заданный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в котором грани $ABCD$, $BCC_{1}B_{1}$ и $BCC_{1}B_{1}$ — смежные.

Точки $O$, $P$ и $N$ — середины этих граней(квадратов).

Точки $H$, $E$ — середины ребер $BC$ и $AB$.

Следовательно $OH = HP = OE = EN = \dfrac{1}{2}$.
Очевидно, что точки $O, P, N$ образуют равносторонний треугольник, сторона которого равна диагонали квадратов со стороной $\frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора
$OP=ON=PN=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1} {2}\right)^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Тогда
$S_{\triangle NPO} = \dfrac{\dfrac{1}{(\sqrt{2})^2}\cdot\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.

В силу симметрии $D_1O=D_1P=D_1N$. Следовательно пирамида $D_1NPO$ — правильная. Найдем ее высоту $D_1T$. Для этого рассмотрим прямоугольный $\triangle{D_1TN}$.

Точка $T$ середина правильного $\triangle{PON}$ со стороной $a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, значит катет $TN$ равен радиусу описанной около правильного $\triangle{PON}$ окружности:

$TN =\dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
Рассмотрим прямоугольный $\triangle{D_{1}A_{1}N}$. По теореме Пифагора
$D_{1}N = \sqrt{1 +\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Тогда высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора для $\triangle D_1TN$:
$D_{1}T = \sqrt{D_{1}N^2 - TN^2} = \sqrt{\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^2-\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} =\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
Вычислим объем пирамиды: 
$V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle NPO}\cdot D_1T=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{8}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{12}$.