Элементарная математика. Геометрия.

Задача 47

Внутри треугольной пирамиды, все рёбра которой равны $a$, расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других, а также трёх граней пирамиды. Найдите радиусы этих шаров.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Пусть заданная пирамида $DABC$, а радиус вписанных шаров $r$. Тогда центры  вписанных в пирамиду $DABC$ шаров образуют правильную пирамиду $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ с ребрами, равными $2r$.

Очевидно, что грани пирамиды $DABC$ параллельны граням пирамиды $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ и удалены от них на расстояние, равное $r$.

Впишем в пирамиду $DABC$ шар, радиус которого $OF=R$, а в пирамиду $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ — шар, радиус которого $r_{0}=OF_{1}$ . Отсюда следует, что
$r=R-r_{0}$.
Воспользуемся формулой (см. здесь ) для определения радиуса шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с равными ребрами:
$R=\frac{a}{2\sqrt{6}}$ ,
$r_{0}=\frac{2r}{2\sqrt{6}}$.

Подставим эти значения в ранее записанную формулу и найдем искомый радиус:
$r=\frac{a}{2\sqrt{6}}-\frac{2r}{2\sqrt{6}}$,
$r=a\frac{\sqrt{6}-1}{10}$ .

Ответ:

$a\frac{\sqrt{6}-1}{10}$.