Элементарная математика. Геометрия.

 Задача 53

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $2$, радиус вписанного шара — $\dfrac{1}{2}$. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть пирамида $SABC$ c высотой $SV$ — правильная. Это значит, что $\triangle$ $ABC$ — равносторонний и $\triangle$ $SAB$ = $\triangle$ $SBC$ = $\triangle$ $SCA$. Для определения угла между боковыми гранями пирамиды воспользуемся 1-ой теоремой косинусов для трехгранного угла, например, с вершиной в точке $B$:
$\cos{60^\circ} = \cos{\angle SBC}\cos{\angle SBC} + \sin{\angle SBC}\sin{\angle SBC}\cos{B}$.

Проведём апофему $SM$ и рассмотрим прямоугольный $\triangle SVM$.

Катет $VM$ равен трети $CM$, что очевидно (т.к. $V$ — центр треугольника):

$VM=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Пусть $\angle SMV=\alpha$. Для того, чтобы найти гипотенузу $\triangle SVM$, вычислим косинус угла  $\alpha$ через тангенс половинного угла, который определим так:

$\text{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OV}{VM}=\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{\sqrt{3}}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда косинус угла $\alpha$ будет равен

$\cos\alpha =\dfrac{1-tg^2\dfrac{\alpha}{2}}{1+tg^2\dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{1-\dfrac{3}{4}}{1+\dfrac{3}{4}} =\dfrac{1}{4}\dfrac{4}{7}=\dfrac{1}{7}$.

С другой стороны $\cos\alpha = \dfrac{VM}{SM}$, значит гипотенуза

$SM = \dfrac{VM}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\dfrac{7}{1}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle SBM$. Пусть $\angle SBM=\beta$. По теореме Пифагора
$SB=\sqrt{BM^2+SM^2}=\sqrt{1^2 + \dfrac{49}{3}}=\sqrt{\dfrac{52}{3}}=2{\sqrt{\dfrac{13}{3}}}$.

Найдем

$\cos\beta = \dfrac{BM}{SB}=1{\sqrt{\dfrac{3}{52}}}={\sqrt{\dfrac{3}{52}}}$;

$\sin\beta = \sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1 - \dfrac{3}{52}}={\sqrt{\dfrac{52}{52}-{\dfrac{3}{52}}}}$ = $\dfrac{7}{\sqrt{52}}$.

Проведём $CE\perp SB$, $EA\perp SB(\angle CEA(\gamma)$ — искомый двугранный угол).

По теореме косинусов для трёхгранного угла

$\cos\gamma = \dfrac{\cos\angle CBA - \cos^2\beta}{\sin^2\beta}=$ $\dfrac{\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{52}}{\dfrac{49}{52}}=\dfrac{\dfrac{26}{52} - \dfrac{3}{52}}{\dfrac{49}{52}}=\dfrac{23}{52}\dfrac{52}{49}=\dfrac{23}{49}$.

Отсюда
$\gamma = \arccos \dfrac{23}{49}$.

Ответ:

$\arccos \dfrac{23}{49}$.