Элементарная математика. Геометрия.

Задача 66

Пирамида $SABCD$ — правильная четерёхугольная пирамида, все рёбра которой равны $1$. Найдите расстояние от середины ребра $AB$ до плоскости, проходящей через $C$ и середины рёбер $SB$ и $SD$.

Решение:

Пусть точки $Q, F, M$ — середины $SB, SD, AB$ соответственно. 

Построим $SO$ — высоту пирамиды, где $O$ — это пересечение $AC$ и $BD$. Высота $SO$ пересекает $QF$ в точке $O_1$. Продолжим $O_1C$ до пересечения с $SA$ в точке $E$. Тогда $QEFC$ — заданная в условии задачи плоскость.

Проведем $MK\parallel BD$. Тогда $MK$ — средняя линия $\triangle ABD$. А так как $QF$ — средняя линия $\triangle SBD$, то, очевидно, что $QF \parallel BD\parallel MK$ и $MK \parallel QEFC$. Следовательно, расстояние от любой точки отрезка  $MK$ до плоскости $QEFC$ будет равно расстоянию от точки $M$ до этой плоскости.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $AC \perp BD$, и $AC \perp MK$.

Значит, если $MK$ пересекает $AC$ в точке $U$, то длина перпендикуляра $UX$ (где $X$ — точка пересечения с отрезком $CE$) и будет искомым расстоянием.

Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$, а  $OC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора, $SO = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $QF$ — средняя линия $\triangle SBD$, то $O_1$ — середина $SO$. Тогда $OO_1 = \dfrac{1}{2}SO=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

По теореме Пифагора, $O_1C = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$.

На основании того, что $\triangle OO_1C \sim \triangle ZOC$ по двум углам ($C$ и прямому), получаем
$\dfrac{OZ}{OO_1} = \dfrac{OC}{O_1C}, OZ = OC \dfrac{OO_1}{O_1C} = \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$.

Так как $MK$ — средняя линия $\triangle BAD$, то $U$ — середина $AO$ и $UO = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

Поскольку $\triangle UXC \sim \triangle OZC$, то
$\dfrac{UX}{OZ} = \dfrac{UC}{OC}, UX = \dfrac{UC \cdot OZ}{OC} = \dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{ 4} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}}{ \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{3}{2\sqrt{10}}$.

Ответ:

$\dfrac{3}{2\sqrt{10}}$.