Элементарная математика. Геометрия.

Задача 58

В каком отношении делит объем куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость, проходящая через вершину $A$, середину ребра $C_1D_1$ и центр грани $BCC_1B_1$?

Решение:

Пусть $L$ — середина ребра $C_1D_1$. Построим диагонали $C_1B$ и $CB_1$. Точка пересечения этих диагоналей будет серединой грани $BCC_1B_1$. Обозначим ее как $O$. Соединим точки $A$, $L$ и $O$. Получили $\triangle AOL$.

Нетрудно заметить, что плоскость этого треугольника совпадает с диагональной плоскостью куба (ортогональные проекции сторон $\triangle AOL$  на грани $A_1ADD_1$ и $B_1BCC_1$ лежат на их диагоналях $BC_1$ и $AD_1$). В итоге $\triangle AOL$ лежит в плоскости $ABC_1D_1$.

Следовательно, полученное сечение делит куб в соотношении $1:1$.

Ответ:

$1:1$