ЭМГеометрия: Задача S59

Задача 59

В каком отношении делит объём треугольной пирамиды $ABCD$ плоскость, проходящая через вершину $A$ и середины медиан треугольников $ABC$ и $ABD$ , выходящих из вершины $B$ ?

Решение:

Построим сечение. Проведем медиану $\triangle ABD$ и обозначим ее $BM$ . Затем проведем медиану $\triangle ABC$ и обозначим ее $BN$ . На каждой медиане отметим ее середину. На медиане $BM$ назовем эту точку $F$ , а на медиане $BN$ назовем эту точку $P$ . Проведем из вершины $A$ прямые, проходящие через точки $F$ и $P$ . Точку пересечения со стороной $BD$ обозначим $K$ , а точку пересечения со стороной $BC$ обозначим $L$ . Соединим точки $L$ и $K$ . Построим плоскость проходящую через точки $A$ , $L$ и $K$ . Получим сечение $ALK$ , которое разделило исходную пирамиду на две: $ALKB$ и $ALKDC$ , высота каждой из которых равна высоте исходной пирамиды.

Если провести высоту пирамиды из вершины $A$ , равную $h$ , то отношение, которое нужно найти, можно представить в виде: $\dfrac{V_{ALKB}}{V_{ALKDC}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}S_{BLK}h}{\dfrac{1}{3}S_{LKDC}h} = \dfrac{S_{BLK}}{S_{LKDC}}.$

Рассмотрим $\triangle ABD$ . Проведем $MQ\parallel AK$ . Значит $MQ$ — средняя линия $\triangle ADK$ и, следовательно $KQ=QD$ .

Рассмотрим $\triangle BMQ$ . В этом треугольнике $MQ\parallel FK$ , а так как $F$ — середина $BM$ , то $FK$ — средняя линия. Тогда $BK$ = $KQ$ и $\dfrac{BK}{KD} = \dfrac{1}{2}$ .