Элементарная математика. Геометрия.

Задача 60

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$. Найдите объём общей части двух треугольных пирамид $ACB_1D_1$ и $A_1C_1BD$.

Решение:

Построим пирамиды $ACB_1D_1$ и $A_1C_1BD$. Введем обозначения точек пересечения их ребер:
$AC \cap BD=E, AB_1 \cap BD=J, AD_1 \cap DA_1=H, CB_1 \cap DC_1=F, CD_1 \cap DC_1=I, B_1D_1 \cap A_1C_1=G$. Эти точки лежат на пересечениях диагоналей граней куба.

Соединим эти точки отрезками. В результате получим фигуру, состоящую из двух равных правильных пирамид $GHJIF$ и $EHJIF$, все ребра которых равны.
Тогда искомый объем это $V_{GHJIF}+V_{EHJIF}$.

Построим $GE$. Так как $G, E, H, J, I, F$ центры диагоналей граней куба, то очевидно, что $GE=HF=JI$ и их длины равны длине ребра куба.

Рассмотрим проекцию $HJIF$ на грань куба $ABCD$. Так как $H, J, I, F$ центры диагоналей граней куба, то очевидно, что $HJ=JF=FI=IH$.

Значит, $HJFI$ — ромб. Тогда $S_{HJFI}=\frac{HF \cdot JI}{2}=\frac{1}{2}$.

Окончательно получаем
$V=V_{GHJIF}+V_{EHJIF}=\frac{1}{3}GX \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}EX \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}(GX+EX)=\frac{1}{6}GE=\frac{1}{6}.$

Ответ:

$\frac{1}{6}$.