Элементарная математика. Геометрия.

Задача 61

Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре —  на его боковой поверхности. Найдите отношение объёмов куба и конуса.

Решение:

Пусть $h$ — высота конуса, а $d$ — диаметр основания конуса. По условию $h = d$. Необходимо найти отношение $\frac{V_{куба}}{V_{конуса}}$.

Запишем формулы для вычисления объёмов:
$V_{куба} = a^3$, где $a$ — сторона куба;
$V_{конуса} = \frac{1}{3}S_{осн}h= \frac{1}{3}\pi\frac{h^3}{4} = \frac{\pi h^3}{12}$.

Тогда
$\frac{V_{куба}}{V_{конуса}} = \frac{12}{\pi} \left(\frac{a}{h}\right)^3$
и наша задача сводиться к нахождению отношения $\frac{a}{h}$.

Это соотношение найдем из $\triangle JIK$, где $JI = h$ — высота конуса, a $IK = \frac{h}{2}$, так как это радиус основания.

Отрезок  $ME$, параллельный $IK$, равен половине диагонали грани куба $ME = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Очевидно, что $\bigtriangleup JIK \sim \bigtriangleup JME$  и, следовательно,
$\frac{JM}{JI} = \frac{ME}{IK}$,
где $JM = h - a$, $JI = h$ , $IK = \frac{h}{2}$.
Получаем соотношение
$\frac{h-a}{h} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{h}{2}}$,

к которому применяем элементарные преобразования
$h-a = a\sqrt{2}$;

$\frac{a}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Тогда
$\frac{V_{куба}}{V_{конуса}} = \frac{12}{\pi(\sqrt{2}+1)^3}.$

Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
$\frac{V_{куба}}{V_{конуса}} = \frac{12(\sqrt{2}-1)^3}{\pi(\sqrt{2}+1)^3(\sqrt{2}-1)^3}=\frac{12(5\sqrt{2}-7)}{\pi}.$

Ответ:

$\frac{12(5\sqrt{2}-7)}{\pi}.$