Элементарная математика. Геометрия.

Задача 62

Полная поверхность треугольной пирамиды в $5$ раз больше поверхности вписанного в неё шара. Найдите отношение объёма пирамиды к объёму вписанного в неё шара.

Решение:

Пусть дана пирамида $SABC$ и вписанный в неё шар с центром шара $O_1$ и радиусом шара $O_1L = R$. Апофема пирамиды $SK = l$. Высота пирамиды $SO = H$. Радиус вписанной в основание пирамиды окружности $OK = r$. Обозначим площадь полной поверхности пирамиды $S_{пир}$, площадь поверхности шара $S_{шар}$, объём пирамиды и шара — $V_{пир}$ и $V_{шар}$ соответственно. Тогда по условию $S_{пир}=5\,S_{шар}$.

Найти $\frac{V_{пир}}{V_{шар}}$.

Рассмотрим треугольник $SOK$.

Очевидно, что $\triangle SLO_1$ подобен $\triangle SOK$, значит

$\frac{SK}{SO_1}=\frac{OK}{OO_1}\Rightarrow\frac{l}{H-R}=\frac{r}{R}\Rightarrow R=\frac{r\,H}{l+r}.$

Запишем формулу объема пирамиды: 

$V_{пир}=\frac{1}{3}S_{осн}H=\frac{1}{3}p\,r\,H$, 

где $p$ — полупериметр основания.

Площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{пир}=S_{осн}+S_{бок}=p\,r+p\,l.$

Найдём отношение $V_{пир}$ к $S_{пир}$

$\frac{V_{пир}}{S_{пир}}=\frac{p\,r\,H}{3\,p\,(l + r)}=\frac{R}{3}.$

Используя $S_{пир}=5\,S_{шар}$ имеем

$V_{пир}=\frac{R}{3}S_{пир}=\frac{5\,R}{3}S_{шар}.$

Окончательно имеем

$\frac{V_{пир}}{V_{шар}}=\frac{5\,R\,S_{шар}}{3\,V_{шар}}=\frac{20\,\pi R^3}{\frac{12}{3}\pi R^3}=5.$

Ответ:

$5$.