Элементарная математика. Геометрия.

Задача 64

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, в котором $AB=3$, $BC=4$. Высота пирамиды равна $3$ и проходит через середину $BC$. Найти радиус наибольшего шара, который может поместиться внутри этой пирамиды. 

Решение:

Рассмотрим $\triangle SBC$. По условию высота $SK$ лежит в грани $SBC$. Из этого следует, что $\triangle SBC$ является равнобедренным, так как высота делит основание пополам. Тогда по теореме Пифагора $SB=SC=\sqrt{13}$. Пусть точка $M$ такая, что $AM=MD$.

Возможны два варианта расположения вписанного шара:

1) его проекция вписана в $\triangle SBC$;

2) его проекция вписана в $\triangle SKM$.

Шар с меньшим радиусом и будет искомым.

В первом случае радиус круга найдем из формулы $S=p\cdot r$, где $S=\frac 1 2 SK\cdot BC= 6$. Полупериметр $p=2+\sqrt{13}$. Тогда $r=\frac S p=\frac 6 {2+\sqrt{13}}=\frac 2 3( \sqrt{13}-2)$.

Во втором случае для прямоугольного $\triangle SKM$ справедливо равенство $r=\frac 1 2 (SK+KM-SM)=\frac 1 2 (3+3-3\sqrt 2)=\frac 1 2 (6-3\sqrt 2)$.

Нетрудно показать, что во втором случае радиус меньше.

Ответ:

$\frac{6-3\sqrt2}{2}$.