Элементарная математика. Геометрия.

Задача 65

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через $D$, $C_1$ и середину $A_1B_1$, делит диагональ $D_1B$.

Решение: 

Построим сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через $D$, $C_1$ и середину $A_1B_1$. Соединим точку $P$ — середину стороны $A_1B_1$ и точку $C_1$, а также  $C_1$ и $D$. Проведем прямую $C_1P$ до пересечения с продолжением $A_1D_1$, получаем точку пересечения $X_1$. Соединим точку пересечения $X_1$ с  точкой  $D$. Пусть точка пересечения прямых $X_1D$ и $A_1A$ будет $Q$. Тогда  $C_1PQD$ — искомое сечение.

Найдем точку пересечения диагонали $D_1B$ и заданной плоскости. Наша диагональ лежит в плоскости $B_1D_1DB$. Пусть $B_1D_1$ и $C_1P$ пересекаются в точке $X_2$, а $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $T$.

Тогда, соединяя точки $X_2$ и $D$, мы получаем точку $O$ в пересечении с   $D_1B$. Значит нам надо найти отношение $D_1O:OB$.
С этой целью рассмотрим подобные $\triangle OBD$ и $\triangle D_1X_2O$ ($D_1B_1\parallel DB$). Имеем
$\dfrac{X_2D_1}{BD} = \dfrac{X_2O}{OD}$.

Выразим $X_2D_1$ через $BD$. Для этого рассмотрим подобные  $\triangle PX_2T$ и $\triangle C_1X_2B_1$ ($PT\parallel B_1C_1$). Имеем 
$\dfrac{TX_2}{B_1X_2}=\dfrac{PT}{B_1C_1} = \dfrac{1}{2}$.
Тогда $X_2D_1=\dfrac{BD}{2}+\dfrac{BD}{6}=\dfrac{2BD}{3}$.

В результате получаем $\dfrac{X_2D_1}{BD}=\dfrac{2}{3}$.

Ответ:

$\dfrac{2}{3}$.