Элементарная математика. Геометрия.

Задача 67

Из круга вырезан сектор с центральным углом $\varphi$. Из полученного сектора и оставшейся части свёрнуты два конуса. Высота первого конуса в два раза больше высоты второго конуса. Найдите величину угла $\varphi$. 

Решение:

Для определенности допустим, что при свертывании дуга сектора с центральным углом $\varphi$,  становится окружностью основания первого конуса.  Пусть $R$ — радиус круга и образующая двух конусов, а $r_1$ — радиус основания первого конуса.

Тогда длина дуги сектора $l_1 = \frac{2\pi R \varphi}{360^{\circ}} = 2\pi r_1$ будет длиной окружности основания первого конуса.

Дуга сектора с центральным углом $2\pi-\varphi$ при свертывании становится окружностью основания второго конуса. 

Длинна дуги сектора $l_2 = \frac{2\pi R \left( 2\pi-\varphi \right) }{360^{\circ}} = 2\pi r_2$  будет длиной окружности основания второго конуса при том, что $r_2$ — радиус основания второго конуса.

Из записанных равенств найдем

$r_1=\frac{R \varphi}{2\pi}$; 

$r_2=\frac{R \left( 2\pi-\varphi \right) }{2\pi}$.

Рассмотрим треугольники $A_1FI$  и  $A_2DH$. Выразим высоты конусов, применяя теорему Пифагора: 

$h_1=\sqrt{R^2-\frac{R^2 \varphi^2}{4\pi^2}}$; 

$h_2=\sqrt{R^2-\frac{R^2 \left( 2\pi - \varphi \right)^2}{4\pi^2}}$.

По условию $h_1 = 2h_2$. Учитывая это, проведя тождественные преобразования, выразим $\varphi$: 

$R^2-\frac{R^2 \varphi^2}{4\pi^2} = 4\left(R^2-\frac{R^2 \left(2\pi - \varphi\right)^2}{4\pi^2}\right)$;

$\frac{R^2 4\pi^2-R^2\varphi^2}{4\pi^2}=4\left(\frac{R^2 4\pi^2-R^2\left(2\pi-\varphi\right)^2}{4\pi^2}\right)$; 

$4\pi^2-\varphi^2 = 16\pi^2 - 4\left(2\pi - \varphi\right)^2$; 

$3\varphi^2 - 16\pi \varphi + 4\pi^2 = 0$; 

$D=\sqrt{208\pi^2} = 4\pi\sqrt{13}$; 

$\varphi_1,\varphi_2 = \frac{16\pi\pm4\pi\sqrt{13}}{6}=\frac{2\pi\left(4\pm\sqrt{13}\right)}{3}$.

Угол $\varphi$ должен быть меньше $2\pi$, следовательно выбираем $\varphi=\frac{2\pi\left(4-\sqrt{13}\right)}{3}$. 

Ответ:

$\frac{2\pi\left(4-\sqrt{13}\right)}{3}$.