Элементарная математика. Геометрия.

Задание 68

Внутри конуса находятся четыре шара равного радиуса. Три шара касаются его основания, каждый шар касается боковой поверхности конуса, кроме того, каждый шар касается трех других. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение:

Пусть $BF$ — образующая конуса, а точки $O_{1}, O_{3}, O_{4}$ — это центры шаров с радиусом $r$, которые касаются основания конуса, и $O_{2}$ — центр 4-го шара. Очевидно, что $\triangle O_{1}O_{3}O_{4}$ будет правильным. Значит, высота конуса $BA$ проходит через центр описанной около правильного треугольника $O_{1}O_{3}O_{4}$ окружности и точку $O_2$.
Найдем радиус этой окружности
$O_{4}D= \frac{2r\sqrt{3}}{3}$.
Теперь мы можем найти
$\sin{\angle{O_{4}O_{2}D}} = \frac{O_{4}D}{2r} = \frac{2r\sqrt{3}}{6r}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Заметим, что $O_{2}O_{4} \parallel BF$. Следовательно, $\angle{DO_{2}O_{4}}=\angle{DBF}$ как соответственные. Затем, с помощью формулы для косинуса двойного угла можно найти $\cos{2\angle{FBD}}= 1 - 2 \sin^2{\angle{O_{4}O_{2}D}} = 1 - \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.

Ответ:

$\arccos{\frac{1}{3}}$.