Элементарная математика. Геометрия.

Задача 69

Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, равен $1$, радиус вписанного шара $\frac{(\sqrt3-1)}{2}$. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Так как дана правильная четырехугольная пирамида, то её основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB = a$. Тогда $AC = AB\sqrt2=a\sqrt2$ и $AM=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}$.

Очевидно, что центр описанного шара — точка $O \in SM$.

Рассмотрим $\bigtriangleup SAM$, у которого $SO=AO=R=1$. Пусть $SM=h$, тогда $OM=SM-SO=h-R$.

Из $\bigtriangleup AOM$ по теореме Пифагора получаем

$AO^2=AM^2+OM^2$ $\Rightarrow$ $R^2=\frac{a^2}{2}+(h-R)^2$ $\Rightarrow$ $R^2=\frac{a^2}{2}+h^2+R^2-2hR$ $\Rightarrow$ $2hR=h^2+\frac{a^2}{2}$ $\Rightarrow$ $R=\frac{2h^2+a^2}{4h}$.

Отсюда имеем
$\frac{2h^2+a^2}{4h}=1$ $\Rightarrow$ $a^2=4h-2h^2$.

Известно, что вписанный в правильную пирамиду шар касается её апофем. Построим апофемы $SP$ и $SQ$ и рассмотрим $\bigtriangleup PSQ$. Обозначим центр вписанного шара точкой $O_1$ и проведём радиусы $O_1K=O_1M=r$. Тогда $SM=h$ и $SO_1=h-r$. Очевидно, что $QO_1$ — биссектриса. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника (делит противолежащую сторону пропорционально отношению прилежащих сторон) получаем $\frac{SO_1}{O_1M}=\frac{SQ}{MQ}$, и так как $MQ=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$, то по теореме Пифагора находим

$SQ^2=MQ^2+SM^2=\frac{a^2}{4}+h^2$ $\Rightarrow$ $SQ=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+4h^2}$
и
$\frac{h-r}{r}=\frac{\sqrt{a^2+4h^2}}{a}$.

После несложных преобразований получим $a^2(h-r)^2=r^2(a^2+4h^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные:

$a^2h^2+a^2r^2-2a^2hr=a^2r^2+4h^2r^2$;

$a^2h^2-2a^2hr-4h^2r^2=0$;

$a^2h-2a^2r-4hr^2=0$.

Подставим сюда полученное ранее выражение $a^2=4h-2h^2$:

$(4h-2h^2)h -2(4h-2h^2)\frac{\sqrt3-1}{2}-4h(\frac{\sqrt3-1}{2})^2=0$.

Раскроем скобки и приведем подобные

$4h^2-2h^3-4\sqrt3h+2\sqrt3h^2+4h-2h^2-h(4-2\sqrt3)=0$;

$-h^2+2h-2\sqrt3+\sqrt3h+2-h-2+\sqrt3=0$;

$-h^2+h(\sqrt3+1)-\sqrt3=0$;

$h^2-h(\sqrt3+1)+\sqrt3=0$.

Решим это квадратное уравнение.

Посчитаем дискриминант: $D=(\sqrt3+1)^2-4\sqrt3=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2$.

Первый корень: $h_1=\frac{\sqrt3+1+(\sqrt3-1)}{2}=\sqrt3$.

Второй корень: $h_2=\frac{\sqrt3+1-(\sqrt3-1)}{2}=1$.

Запишем формулу объёма пирамиды
$V_{SABCD}=\frac{1}{3}h \cdot S_{ABCD}$.

Выразим площадь основания через высоту
$S_{ABCD}=a^2=4h-2h^2$.

1) При $h=\sqrt 3$ получаем $S_{ABCD}=4\sqrt3-6$, следовательно $V_{SABCD}=\frac{1}{3}\sqrt3(4\sqrt3-6)=\frac{12-6\sqrt3}{3}=4-2\sqrt3$.

2) При $h=1$ получаем $S_{ABCD}=2$, следовательно $V_{SABCD}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

Ответ:

$4-2\sqrt3$;
$\frac{2}{3}$.