Элементарная математика. Геометрия.

Задача 71

Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани, если ребро куба равно $1$?

Решение: 

Так как в задаче необходимо найти длину кратчайшего пути по поверхности куба, удобнее будет сделать его развертку.

Возьмем грань $AA_1D_1D$, ее центром будет точка $O$. Противоположной будет грань $BB_1C_1C$. Расстояние от точки $O$ до любой из вершин грани $BB_1C_1C$ будет одинаковым.

Найдем расстояние $OB$. На развертке легко заметить, что данное расстояние можно вычислить, применив теорему Пифагора для треугольника $OO_1B$:

$OB=\sqrt[]{\left(OO_1\right)^2+\left(O_1B\right)^2}$.

В силу того, что

$OO_1=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}$;

$O_1B=O_1A+AB=\frac{a}{2}+a=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$,

искомое расстояние

$OB=\sqrt[]{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt[]{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt[]{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt[]{10}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt[]{10}}{2}$.